Сумма степеней в графе - это важная характеристика графа, равная сумме степеней всех его вершин. Это понятие играет ключевую роль в теории графов и имеет несколько фундаментальных свойств.
Содержание
Сумма степеней в графе - это важная характеристика графа, равная сумме степеней всех его вершин. Это понятие играет ключевую роль в теории графов и имеет несколько фундаментальных свойств.
Основные определения
- Граф - совокупность вершин и соединяющих их рёбер
- Степень вершины - количество рёбер, инцидентных данной вершине
- Сумма степеней - сумма степеней всех вершин графа
Теорема о сумме степеней
Основной результат, известный как Лемма о рукопожатиях, утверждает:
Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству рёбер:
Σdeg(v) = 2E
где deg(v) - степень вершины v, E - количество рёбер в графе
Следствия из теоремы
| Следствие | Объяснение |
| Чётность суммы | Сумма степеней всегда чётна |
| Количество нечётных вершин | Число вершин с нечётной степенью всегда чётно |
| Оценка количества рёбер | E = Σdeg(v)/2 |
Примеры расчёта
Пример 1: Простой граф
Граф с 3 вершинами и 2 рёбрами:
- Вершина A: степень 1
- Вершина B: степень 2
- Вершина C: степень 1
Сумма степеней: 1 + 2 + 1 = 4 = 2×2 (рёбра)
Пример 2: Полный граф K₄
4 вершины, каждая имеет степень 3:
Сумма степеней: 4×3 = 12 = 2×6 (рёбер)
Применение в теории графов
- Проверка корректности описания графа
- Определение существования графа с заданными степенями вершин
- Анализ сетевых структур
- Решение задач о маршрутах и потоках
Заключение
Сумма степеней вершин графа является фундаментальной характеристикой, отражающей важные свойства структуры графа. Теорема о сумме степеней позволяет устанавливать взаимосвязи между количеством вершин, их степенями и количеством рёбер, что находит применение в различных разделах дискретной математики и компьютерных науках.
